[GeriDon]

[DersOgretimPlani]

[DersinKodu] [DersinAdi] [DersinTuru] [Yil] [YariYil] [Ects]
MAT-23-116 KAOTİK DİNAMİK SİSTEMLER Seçmeli Ders Grubu 1 2 6,00

[DersinSeviyesi]

[YuksekLisans]

[DersDili]

Türkçe

[DersinAmaci]

Zamanla değişen ve başlangıç koşullarına aşırı hassasiyet gösteren doğrusal olmayan (non-linear) sistemlerin matematiksel teorisini inceler. Bu ders, deterministik (belirli kurallara bağlı) sistemlerin nasıl öngörülemez ve kaotik davranışlar üretebildiğini hem sürekli hem de kesikli zaman boyutunda ele alır. Doğrusal olmayan bir diferansiyel veya fark denklemiyle karşılaştığında, sistemin parametrelerine bağlı olarak kararlı mı kalacağını yoksa kaotik bir faza mı geçeceğini analitik ve sayısal yöntemlerle tahmin edebilir. Ders, soyut topoloji, diferansiyel denklemler ve ölçü teorisini bir arada eriterek, öğrencilerin modern literatürdeki bifurkasyon analizi, tuhaf çekiciler ve kaos kontrolü konularındaki akademik makaleleri bağımsızca incelemesine ve bu alanda tez üretmesine zemin hazırlar.

[DersiVerenGorevli]

Prof. Dr. Figen ÇİLİNGİR

[OgrenmeCiktilari]

1 Kaos konusunun günümüz problemlerine uygulanması

[OgrenimTuru]

Birinci Öğretim

[DersOnKosulu]

Analiz grubu dersler

[OnerilenDigerHususlar]

-

[DersinIcerigi]

Dinamik Sistemlere Giriş: Sürekli ve kesikli zamanlı sistemler, faz uzayı, yörüngeler, sabit ve periyodik noktaların sınıflandırılması. Lojistik Harita (Logistic Map): $x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$ denklem sistemi üzerinden kaosa giriş, periyot katlanmaları (period-doubling) ve Feigenbaum sabitleri. Çatallanma (Bifurcation) Teorisi: Sele çatallanması (saddle-node), transkritik ve hatve (pitchfork) çatallanmaları. Şerit diyagramları. Kaosun Matematiksel Tanımı: Devaney anlamında kaos; başlangıç koşullarına hassas bağımlılık, topolojik geçişlilik (topological transitivity) ve periyodik noktaların yoğunluğu. Sembolik Dinamik ve Şift (Shift) Uzayları: Kaotik yörüngelerin sembol dizileriyle eşlenmesi, çadır haritası (tent map) ve teğet haritası analizi. İki Boyutlu Haritalar: At nalı haritası (Smale horseshoe), kedi haritası (Arnold's cat map) ve alan koruyan (muhafazakar) sistemler. Sürekli Zamanlı Sistemler (Lineer ve Non-linear Akışlar): İki boyutlu diferansiyel denklem sistemleri, faz portreleri, limit çevrimler (limit cycles) ve Poincaré-Bendixson Teoremi (Neden 2 boyutta kaos olamayacağının kanıtı). Üç Boyutlu Akışlar ve Lorenz Sistemleri: Meteorolojik modellemeden doğan Lorenz denklemleri, kelebek etkisi ve deterministik kaosun tarihsel doğuşu. Rossler çekicisi.Kaosun Ölçülmesi ve Fraktal Geometri Bağlantısı Lyapunov Üstelleri (Lyapunov Exponents): Başlangıçtaki küçük ayrışmaların üssel büyüme oranının hesaplanması ve bir sistemin kaotik olup olmadığının kantitatif (sayısal) kanıtı.Tuhaf Çekiciler (Strange Attractors): Kaotik akışların sınırlandırılmış faz uzayındaki geometrisi, Hénon çekicisi ve bu yapıların topolojik özellikleri. Fraktal Boyut Analizi: Tuhaf çekicilerin klasik geometride yer bulamaması; Hausdorff boyutu, kapasite boyutu ve korelasyon boyutu yardımıyla kaosun geometrik analizi. İleri Teoriler ve UygulamalarHamilton Mekaniği ve Kam Teorisi: Korunumlu sistemlerde kaos, saklı adalar ve integrallenebilirlik problemi. Kaosun Kontrolü ve Senkronizasyon: Kaotik sistemlerin stabilize edilmesi veya iki kaotik sistemin birbiriyle uyumlu çalıştırılması (güvenli iletişim tekniklerinde kullanım mantığı).

[HaftalikDersIcerigi]

[Hafta] [Teorik] [Uygulama] [Laboratuvar]
1 Lojistik Harita (Logistic Map): $x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$ denklem sistemi üzerinden kaosa giriş, periyot katlanmaları (period-doubling) ve Feigenbaum sabitleri. Çatallanma (Bifurcation) Teorisi: Sele çatallanması (saddle-node), transkritik ve hatve (pitchfork) çatallanmaları. Şerit diyagramları. Kaosun Matematiksel Tanımı: Devaney anlamında kaos; başlangıç koşullarına hassas bağımlılık, topolojik geçişlilik (topological transitivity) ve periyodik noktaların yoğunluğu. Sembolik Dinamik ve Şift (Shift) Uzayları: Kaotik yörüngelerin sembol dizileriyle eşlenmesi, çadır haritası (tent map) ve teğet haritası analizi. İki Boyutlu Haritalar: At nalı haritası (Smale horseshoe), kedi haritası (Arnold's cat map) ve alan koruyan (muhafazakar) sistemler. Sürekli Zamanlı Sistemler (Lineer ve Non-linear Akışlar): İki boyutlu diferansiyel denklem sistemleri, faz portreleri, limit çevrimler (limit cycles) ve Poincaré-Bendixson Teoremi (Neden 2 boyutta kaos olamayacağının kanıtı). Üç Boyutlu Akışlar ve Lorenz Sistemleri: Meteorolojik modellemeden doğan Lorenz denklemleri, kelebek etkisi ve deterministik kaosun tarihsel doğuşu. Rossler çekicisi.Kaosun Ölçülmesi ve Fraktal Geometri Bağlantısı Lyapunov Üstelleri (Lyapunov Exponents): Başlangıçtaki küçük ayrışmaların üssel büyüme oranının hesaplanması ve bir sistemin kaotik olup olmadığının kantitatif (sayısal) kanıtı.Tuhaf Çekiciler (Strange Attractors): Kaotik akışların sınırlandırılmış faz uzayındaki geometrisi, Hénon çekicisi ve bu yapıların topolojik özellikleri. Fraktal Boyut Analizi: Tuhaf çekicilerin klasik geometride yer bulamaması; Hausdorff boyutu, kapasite boyutu ve korelasyon boyutu yardımıyla kaosun geometrik analizi. İleri Teoriler ve UygulamalarHamilton Mekaniği ve Kam Teorisi: Korunumlu sistemlerde kaos, saklı adalar ve integrallenebilirlik problemi. Kaosun Kontrolü ve Senkronizasyon: Kaotik sistemlerin stabilize edilmesi veya iki kaotik sistemin birbiriyle uyumlu çalıştırılması (güvenli iletişim tekniklerinde kullanım mantığı). Fraktal çizimi mathematica

[DersKitabi]

Robert L Devaney Non lineer dynamicak systems

[PlanlananYontemler]

yok

[Degerlendirme]

Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Ara Sınav 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Final Sınavı 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri 40
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri 60

[StajDurumu]

yok

[IsYukuHesaplamasi]

[Etkinlikler] [Sayisi] [Suresi] [ToplamIsYuku]
Quiz 35 1 35
Problem Çözümü 40 1 40
Seminer 30 1 30
Makale Kritik Etme 40 1 40
Performans 20 1 20
Ev Ödevi 15 1 15
[ToplamIsYuku] 180

[PCOCIliskisi]

[PC] 1 [PC] 2 [PC] 3 [PC] 4 [PC] 5 [PC] 6
[OC] 1 5 5 5 5 5 5
[PCOCAciklama]