[GeriDon]

[DersOgretimPlani]

[DersinKodu] [DersinAdi] [DersinTuru] [Yil] [YariYil] [Ects]
MAT-23-119 KOMPLEKS DİNAMİK SİSTEMLER - I Seçmeli Ders Grubu 1 1 6,00

[DersinSeviyesi]

[YuksekLisans]

[DersDili]

[DersinAmaci]

: Kompleks düzlemde tanımlı fonksiyonların ardışık uygulanması (iterasyonu) sonucunda ortaya çıkan deterministik ama kaotik davranışları matematiksel olarak analiz etme becerisi kazandırmaktır. öğrenciye soyut kompleks analiz ile geometrik topolojiyi birleştirerek, doğrusal olmayan (non-linear) dünyadaki gizli düzeni ve fraktal geometrinin doğuşunu kuramsal bir çerçevede sunmaktır. Ders sonunda öğrencilerin, modern literatürdeki dinamik sistem makalelerini bağımsız olarak okuyup yorumlayabilecek ve bu alanda araştırma problemi üretebilecek düzeye ulaşması hedeflenir.

[DersiVerenGorevli]

Prof.Dr.Figen ÇİLİNGİR

[OgrenmeCiktilari]

1 emel Teorik Kavramları Tanımlama: Rasyonel ve aşkın (transcendental) fonksiyonların yinelemeli (iterative) süreçlerini, kompleks düzlemde dinamik sistemlerin temel özelliklerini ve tanımlarını açıklar. Julia ve Mandelbrot Kümelerini Analiz Etme: Fatou ve Julia kümelerinin topolojik ve geometrik özelliklerini ayırt eder; Mandelbrot kümesinin tanımını, yapısını ve bu kümeler arasındaki parametrik ilişkileri analiz eder. Sabit ve Periyodik Noktaların Kararlılığını Değerlendirme: Kompleks fonksiyonların sabit ve periyodik noktalarını bulur; bu noktaların karakterini (çekici, itici, nötr/parabolik) türev ve çarpan (multiplier) yardımıyla belirler. Tekil Noktaların ve Yörüngelerin Rolünü Yorumlama: Kritik noktaların (critical points) ve onların yörüngelerinin (orbits), rasyonel dönüşümlerin küresel dinamiği üzerindeki belirleyici rolünü ve tekil pertürbasyonların (singular perturbations) sistem üzerindeki etkilerini açıklar. Newton Yönteminin Dinamiğini Uygulama: Kompleks kök bulma algoritması olarak Newton yöntemini (Newton's method) dinamik bir sistem olarak ele alır; köklerin çekim havzalarını (basins of attraction) ve bu süreçte ortaya çıkan kaotik sınırları matematiksel olarak inceler. Fraktal Geometri ile Bağlantı Kurma: Dinamik sistemlerin ürettiği yapıların fraktal boyutlarını ve öz-benzerlik (self-similarity) özelliklerini analiz ederek, teorik matematiği görsel ve geometrik yapılarla ilişkilendirir.

[OgrenimTuru]

Birinci Öğretim

[DersOnKosulu]

Analiz derleri

[OnerilenDigerHususlar]

-

[DersinIcerigi]

Dinamik Davranışlar: Bir $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ fonksiyonu altında bir noktanın yörüngesinin ($z_0, f(z_0), f(f(z_0)), \dots$) uzun vadeli davranışını (sabit noktalara, periyodik yörüngelere yakınsama veya sonsuza ıraksama) incelemek. Çekim Havzaları (Attracting Basins): Çekici sabit veya periyodik noktaların etki alanlarını ve bu alanların geometrik sınırlarını analiz etmek. Kaotik ve Düzenli Yapıların Ayrımı (Fatou ve Julia Kümeleri) Kararlılık Analizi: Karmaşık düzlemi, fonksiyonun iterasyonları altında kararlı/düzenli davrandığı Fatou kümesi ile başlangıç şartlarına hassas bağımlılık gösteren ve kaotik davranışlar sergileyen Julia kümesi olarak iki kuramsal parçaya ayırmayı öğretmek. Topolojik Özellikler: Julia kümelerinin bağlantılılık (connectedness), lokal bağlantılılık veya tamamen bağlantısızlık (Cantor kümesi yapısı) gibi topolojik ve geometrik özelliklerini teorik olarak incelemek. Parametre Uzayının Geometrisi: Mandelbrot Kümesi: Dinamik uzaydaki (z-düzlemi) davranışların, fonksiyonun parametrelerine (c-düzlemi) nasıl bağlı olduğunu anlamak. Özellikle $f_c(z) = z^2 + c$ ailesi üzerinden parametre uzayının analitiğini ve Mandelbrot kümesinin fraktal yapısını kavratmak. Rasyonel ve Aşkın (Transandant) Fonksiyonların Dinamiği: Polinomlar ve Rasyonel Dönüşümler: Riemann küresi üzerinde tanımlı rasyonel fonksiyonların global dinamiklerini analiz etmek. Transandant Dinamikler: Üstel (e^z), sinüs (sin z) gibi aşkın fonksiyonların iterasyonlarında ortaya çıkan sonsuz boyutlu veya asimptotik değerlerin (omitted values, uç noktalar) yarattığı karmaşık geometrik olguları incelemek. Sayısal Analiz Köprüleri (Newton Metodu Dinamikleri). Kök Bulma Algoritmaları: Kompleks düzlemde kök bulmak için kullanılan köklü algoritmaların (örneğin Newton-Raphson iterasyon fonksiyonu) dinamik sistemler gözlüğüyle incelenmesi. Algoritmanın hangi başlangıç değerlerinde kararlı çalıştığını, hangi durumlarda ise kaotik sınırlara (Julia kümelerine) takıldığını matematiksel olarak modellemek.

[HaftalikDersIcerigi]

[Hafta] [Teorik] [Uygulama] [Laboratuvar]
1 Dinamik Davranışlar: Bir $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ fonksiyonu altında bir noktanın yörüngesinin ($z_0, f(z_0), f(f(z_0)), \dots$) uzun vadeli davranışını (sabit noktalara, periyodik yörüngelere yakınsama veya sonsuza ıraksama) incelemek. Çekim Havzaları (Attracting Basins): Çekici sabit veya periyodik noktaların etki alanlarını ve bu alanların geometrik sınırlarını analiz etmek. Kaotik ve Düzenli Yapıların Ayrımı (Fatou ve Julia Kümeleri) Kararlılık Analizi: Karmaşık düzlemi, fonksiyonun iterasyonları altında kararlı/düzenli davrandığı Fatou kümesi ile başlangıç şartlarına hassas bağımlılık gösteren ve kaotik davranışlar sergileyen Julia kümesi olarak iki kuramsal parçaya ayırmayı öğretmek. Topolojik Özellikler: Julia kümelerinin bağlantılılık (connectedness), lokal bağlantılılık veya tamamen bağlantısızlık (Cantor kümesi yapısı) gibi topolojik ve geometrik özelliklerini teorik olarak incelemek. Parametre Uzayının Geometrisi: Mandelbrot Kümesi: Dinamik uzaydaki (z-düzlemi) davranışların, fonksiyonun parametrelerine (c-düzlemi) nasıl bağlı olduğunu anlamak. Özellikle $f_c(z) = z^2 + c$ ailesi üzerinden parametre uzayının analitiğini ve Mandelbrot kümesinin fraktal yapısını kavratmak. Rasyonel ve Aşkın (Transandant) Fonksiyonların Dinamiği: Polinomlar ve Rasyonel Dönüşümler: Riemann küresi üzerinde tanımlı rasyonel fonksiyonların global dinamiklerini analiz etmek. Transandant Dinamikler: Üstel (e^z), sinüs (sin z) gibi aşkın fonksiyonların iterasyonlarında ortaya çıkan sonsuz boyutlu veya asimptotik değerlerin (omitted values, uç noktalar) yarattığı karmaşık geometrik olguları incelemek. Sayısal Analiz Köprüleri (Newton Metodu Dinamikleri). Kök Bulma Algoritmaları: Kompleks düzlemde kök bulmak için kullanılan köklü algoritmaların (örneğin Newton-Raphson iterasyon fonksiyonu) dinamik sistemler gözlüğüyle incelenmesi. Algoritmanın hangi başlangıç değerlerinde kararlı çalıştığını, hangi durumlarda ise kaotik sınırlara (Julia kümelerine) takıldığını matematiksel olarak modellemek. -

[DersKitabi]

Robert L Devaney An Introduction To Chaotic Dynamical systems

[PlanlananYontemler]

[Degerlendirme]

Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Ara Sınav 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Final Sınavı 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri 40
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri 60

[StajDurumu]

-

[IsYukuHesaplamasi]

[Etkinlikler] [Sayisi] [Suresi] [ToplamIsYuku]
Quiz 20 1 20
Proje Sunma 40 1 40
Makale Kritik Etme 60 1 60
Ev Ödevi 60 1 60
[ToplamIsYuku] 180

[PCOCIliskisi]

[PC] 1 [PC] 2 [PC] 3 [PC] 4 [PC] 5 [PC] 6
[OC] 1 5 5 5 5 5 5
[PCOCAciklama]