[DersOgretimPlani]
| [DersinKodu] |
[DersinAdi] |
[DersinTuru] |
[Yil] |
[YariYil] |
[Ects] |
| MAT-23-122 |
MANDELBROT KÜMESİ VE JULİA KÜMELERİ |
Seçmeli Ders Grubu |
1 |
1 |
6,00 |
[YuksekLisans]
Bu spesifik ders, öğrenciyi genel geçer dinamik sistem tanımlarından çıkarıp, doğrudan kompleks analiz ile geometrik topolojinin kesişimindeki en estetik ve derin yapılara odaklıyor. Dersi başarıyla tamamlayan bir lisansüstü öğrencisi; kuadratik haritaların parametre değişimlerini analitik olarak takip edebilir, bilgisayar simülasyonlarında gördüğü o sonsuz fraktal desenlerin arkasındaki teorik ispat yöntemlerine (Montel, Böttcher, Sullivan teoremleri gibi) hakim olur ve bu alandaki güncel makaleleri yorumlayarak özgün bir tez çalışması başlatabilir. Dinamik ve Parametre Uzaylarının Ayrımını Kavratmak: Öğrencilere, karmaşık düzlemdeki tek bir fonksiyonun kararlılık sınırlarını gösteren Julia kümeleri (dinamik uzay) ile tüm bir fonksiyon ailesinin davranışlarını tek bir haritada özetleyen Mandelbrot kümesi (parametre uzayı) arasındaki derin matematiksel bağları öğretmek. Topolojik ve Geometrik Yapıları İncelemek: Bu kümelerin bağlantılılık (connectedness), lokal bağlantılılık, lokal kendinden benzerlik (self-similarity) gibi topolojik özelliklerini kuramsal düzeyde analiz etmek. Analitik İterasyon Teorisine Hakimiyet: Başlangıç değerlerinin kritik noktalarla (critical points) ilişkisini kurarak, Fatou ve Julia kümelerinin inşasında Montel Teoremi ve normal aile analitiğini ileri düzeyde kullanabilme yetisi kazandırmak. Akademik Araştırma Altyapısı Sağlamak: Öğrencileri kompleks dinamik alanındaki güncel açık problemlere (örneğin Mandelbrot küresinin lokal bağlantılılığı - MLC konjektürü) hazırlamak ve bağımsız araştırma/tez üretebilecek düzeye ulaştırmak.
Prof.Dr. Figen ÇİLİNGİR
| 1 |
Mandelbrot Kümesi (The Mandelbrot Set) konusunu bağımsız bir ders modülü, seminer serisi veya daha geniş kapsamlı bir fraktal geometri dersinin özel bir ünitesi olarak ele aldığımızda, öğrenme çıktıları konunun derin geometrik ve parametrik yapısına odaklanır.Akademik standartlara uygun olarak hazırlanmış öğrenme çıktıları şu şekildedir:Ders / Ünite Öğrenme ÇıktılarıBu modülü başarıyla tamamlayan bir öğrenci aşağıdaki becerilere sahip olur:Matematiksel Tanımı ve Formülasyonu Açıklama: $f_c(z) = z^2 + c$ kuadratik aile yinelemesinde $z_0 = 0$ başlangıç noktasının kritik yörüngesini (critical orbit) inceleyerek, Mandelbrot kümesinin parametre düzlemindeki ($c$-düzlemi) matematiksel tanımını net bir şekilde ortaya koyar.Parametre Düzlemi ile Dinamik Düzlem Arasındaki İlişkiyi Ayırt Etme: Dinamik düzlemdeki Julia kümeleri ile parametre düzlemindeki Mandelbrot kümesi arasındaki köprüyü açıklar; parametrenin ($c$ değerinin) Mandelbrot kümesinin içinde veya dışında seçilmesine göre Julia kümesinin bağlantılılık (connectedness) durumunu (Fatou-Julia Teoremi) analiz eder.Kümenin Geometrik ve Topolojik Yapısını Analiz Etme: Mandelbrot kümesinin ana kardioid (main cardioid) yapısını, dairesel ampullerini (bulbs), antenlerini ve bu yapıların periyodik doğasını (katlanan periyotlar ve bifurkasyon/çatallanma diyagramları ile ilişkisini) matematiksel olarak inceler.Öz-Benzerlik ve Fraktal Boyut Kavramlarını Yorumlama: Kümenin sınırındaki yerel öz-benzerlik (local self-similarity) ile mikroskobik ölçekte ortaya çıkan küçük Mandelbrot kopyalarını (satellites) açıklar; kümenin sınırının Hausdorff boyutunun 2 olduğunu kavrar.Bilgisayarlı Modelleme ve Algoritmik Yaklaşım Geliştirme: Kaçış süresi algoritmasını (escape-time algorithm) kullanarak Mandelbrot kümesini bilgisayar ortamında görselleştirmek için gerekli matematiksel kriterleri (örneğin kaçış yarıçapının $R=2$ olması) ve algoritma mantığını formüle eder. |
Birinci Öğretim
Kompleks Analiz
-
Kompleks düzlemde iterasyon, yörünge analizi, sabit ve periyodik noktaların çarpanlarına (multiplier) göre sınıflandırılması (çekici, itici, süper-çekici, nötr). Normal aileler teorisi, Montel Teoremi ve dinamik kararlılık. Fatou ve Julia kümelerinin inşası, temel topolojik özellikleri, değişmezlik (invariance) prensipleri ve Julia kümesinin sınır karakterizasyonu. Julia Kümelerinin Geometrisi ve Yapısı: Kritik noktaların (critical points) hayati rolü: Fatou-Julia Teoremi ve kritik yörüngelerin Julia kümesinin geometrisini nasıl dikte ettiği: Kuadratik polinomların ($f_c(z) = z^2+c$) dinamiği ve sonsuzdaki sabit noktanın çekim havzası. Böttcher Teoremi ve Green fonksiyonları. Doldurulmuş (Filled-in) Julia kümeleri. Julia kümelerinin dikotomi (ikiye bölünme) özelliği: Bir Julia kümesinin ya tamamen bağlantılı ya da tamamen bağlantısız (Cantor tozu) olmasının ispatı: Parametre Uzayı ve Mandelbrot Kümesi. Parametre uzayına geçiş: $f_c(z) = z^2+c$ ailesinde $c$ parametresinin rolü. Mandelbrot kümesinin matematiksel tanımı ve kritik yörüngenin sınırlandırılmışlığı ($0$ noktasının yörüngesi). Mandelbrot kümesinin temel topolojik özellikleri: Kapalılık, sınırlılık, kompaktlık ve en önemlisi bağlantılılık (connectedness) özelliği (Douady ve Hubbard'ın Riemann Dönüşüm Teoremi kullanarak yaptığı ispat).Mandelbrot kümesinin anatomisi: Ana kardioid (main cardioid), periyodik tomurcuklar (bulbs), çatallanma (bifurcation) mekanizması ve periyot katlanmaları. Lokal kendinden benzerlik: Mandelbrot kümesinin kollarında saklı olan küçük "mikro-Mandelbrot" ve Julia kümesi kopyaları (Misiurewicz noktaları). Hausdorff boyutu analizi: Shishikura Teoremi (Mandelbrot kümesinin sınırının Hausdorff boyutunun 2 olması) ve Julia kümelerinin kesirli boyutları. Siegel Diskleri ve Yoccoz Teorisi: Nötr periyodik noktalara sahip kuadratik polinomların sınır geometrisi ve doğrusallaştırılabilme (linearization) problemi. Kompleks dinamikteki büyük konjektürler: MLC (Mandelbrot kümesi lokal bağlantılı mıdır?) problemi, hiperbolisite konjektürü ve modern literatürdeki açık uçlu araştırma konuları.
| [Hafta] |
[Teorik] |
[Uygulama] |
[Laboratuvar] |
| 1 |
Kompleks düzlemde iterasyon, yörünge analizi, sabit ve periyodik noktaların çarpanlarına (multiplier) göre sınıflandırılması (çekici, itici, süper-çekici, nötr). Normal aileler teorisi, Montel Teoremi ve dinamik kararlılık. Fatou ve Julia kümelerinin inşası, temel topolojik özellikleri, değişmezlik (invariance) prensipleri ve Julia kümesinin sınır karakterizasyonu. Julia Kümelerinin Geometrisi ve Yapısı: Kritik noktaların (critical points) hayati rolü: Fatou-Julia Teoremi ve kritik yörüngelerin Julia kümesinin geometrisini nasıl dikte ettiği: Kuadratik polinomların ($f_c(z) = z^2+c$) dinamiği ve sonsuzdaki sabit noktanın çekim havzası. Böttcher Teoremi ve Green fonksiyonları. Doldurulmuş (Filled-in) Julia kümeleri. Julia kümelerinin dikotomi (ikiye bölünme) özelliği: Bir Julia kümesinin ya tamamen bağlantılı ya da tamamen bağlantısız (Cantor tozu) olmasının ispatı: Parametre Uzayı ve Mandelbrot Kümesi. Parametre uzayına geçiş: $f_c(z) = z^2+c$ ailesinde $c$ parametresinin rolü. Mandelbrot kümesinin matematiksel tanımı ve kritik yörüngenin sınırlandırılmışlığı ($0$ noktasının yörüngesi). Mandelbrot kümesinin temel topolojik özellikleri: Kapalılık, sınırlılık, kompaktlık ve en önemlisi bağlantılılık (connectedness) özelliği (Douady ve Hubbard'ın Riemann Dönüşüm Teoremi kullanarak yaptığı ispat).Mandelbrot kümesinin anatomisi: Ana kardioid (main cardioid), periyodik tomurcuklar (bulbs), çatallanma (bifurcation) mekanizması ve periyot katlanmaları. Lokal kendinden benzerlik: Mandelbrot kümesinin kollarında saklı olan küçük "mikro-Mandelbrot" ve Julia kümesi kopyaları (Misiurewicz noktaları). Hausdorff boyutu analizi: Shishikura Teoremi (Mandelbrot kümesinin sınırının Hausdorff boyutunun 2 olması) ve Julia kümelerinin kesirli boyutları. Siegel Diskleri ve Yoccoz Teorisi: Nötr periyodik noktalara sahip kuadratik polinomların sınır geometrisi ve doğrusallaştırılabilme (linearization) problemi. Kompleks dinamikteki büyük konjektürler: MLC (Mandelbrot kümesi lokal bağlantılı mıdır?) problemi, hiperbolisite konjektürü ve modern literatürdeki açık uçlu araştırma konuları. |
|
|
konu ile ilgili makaleler
| Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri |
[Adet] |
[Deger] |
| Ara Sınav |
1 |
100 |
|
[Toplam]
|
100
|
| Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri |
[Adet] |
[Deger] |
| Final Sınavı |
1 |
100 |
|
[Toplam]
|
100
|
| Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri |
40
|
| Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri |
60
|
| [Etkinlikler] |
[Sayisi] |
[Suresi] |
[ToplamIsYuku] |
| Quiz |
50 |
1 |
50 |
| Derse Katılım |
30 |
1 |
30 |
| Seminer |
60 |
1 |
60 |
| Makale Kritik Etme |
40 |
1 |
40 |
|
[ToplamIsYuku]
|
180
|
|
[PC] 1 |
[PC] 2 |
[PC] 3 |
[PC] 4 |
[PC] 5 |
[PC] 6 |
| [OC] 1 |
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
[PCOCAciklama]
