[DersOgretimPlani]
| [DersinKodu] |
[DersinAdi] |
[DersinTuru] |
[Yil] |
[YariYil] |
[Ects] |
| MAT-23-122 |
MANDELBROT KÜMESİ VE JULİA KÜMELERİ |
Seçmeli Ders Grubu |
1 |
2 |
6,00 |
[YuksekLisans]
Mandelbrot ve Julia Kümeleri dersi, genellikle ileri düzey lisans veya lisansüstü seviyede okutulan, karmaşık dinamik sistemler ve kaos teorisi alanının temelini oluşturan bir derstir.Bu dersin temel amacı; basit birer matematiksel formülün (örneğin $z_{n+1} = z_n^2 + c$) karmaşık düzlemde nasıl sonsuz derecede detaylı, fraktal yapılar ve kaotik davranışlar üretebildiğini analitik, geometrik ve topolojik araçlarla açıklamaktır.Dersin genel amaçları maddeler halinde şu şekilde özetlenebilir:1. Dinamik Uzay ile Parametre Uzayı Arasındaki Farkı ÖğretmekJulia Kümeleri (Dinamik Uzay): Sabit bir $c$ parametresi için, formülün kararlı (düzenli) davrandığı bölgeler ile kaotik (başlangıç koşullarına hassas) davrandığı bölgelerin sınırını (Julia kümesini) incelemek.Mandelbrot Kümesi (Parametre Uzayı): Başlangıç noktası sabit tutulduğunda ($z_0=0$), hangi $c$ parametrelerinin sınırlı, hangilerinin sonsuza giden yörüngeler ürettiğini haritalandırmak. Dersin ana amacı, bu iki uzayın birbiriyle olan derin geometrik bağını göstermektir.2. Fraktal Geometri ve Kaos Teorisinin Matematiksel Altyapısını KurmakÖğrencilere doğadaki kıyı çizgileri, kar taneleri gibi yapılarda görülen "kendine benzerlik" (self-similarity) kavramını Mandelbrot ve Julia kümeleri üzerinden rigöröz (kesin) matematiksel tanımlarla aktarmak.Kaotik sistemlerin deterministik (belirli) denklemlerden nasıl doğduğunu ve "kelebek etkisi" gibi kavramların karmaşık analizdeki karşılıklarını öğretmek.3. İleri Düzey Matematiksel Araçları Bir Arada Kullanma Becerisi KazandırmakKarmaşık Analiz: Holomorfik fonksiyonlar, Taylor/Laurent serileri ve normal aileler (Montel Teoremi) gibi teorik araçların dinamik sistemlerdeki pratik uygulamalarını göstermek.Topoloji ve Metrik Uzaylar: Kümelerin bağlantılılığı (connectedness), Hausdorff boyutu ve kompaktlık gibi soyut kavramları bu ünlü fraktaller üzerinde somutlaştırmak.4. Bilgisayar Destekli Deneysel Matematik Kültürü AşılamakDönem ödevleri veya laboratuvar uygulamalarıyla öğrencilerin Python, MATLAB veya benzeri dillerde iterasyon algoritmaları yazmasını sağlamak.Matematiksel bir teoremi ispatlamadan önce, bilgisayar ekranında "görselleştirerek" keşfetme (deneysel matematik) becerisini geliştirmek.
Prof. Dr. Figen ÇİLİNGİR
| 1 |
Mandelbrot ve Julia Kümeleri dersinin öğrenme çıktıları Türkçe olarak şu şekilde sıralanabilir:
Öğrenme Çıktıları
Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler aşağıdaki yetkinliklere sahip olacaklardır:
1. Karmaşık Dinamikte Temel Yetkinlikler
Yörünge Davranışlarını Analiz Etme: Polinom fonksiyonları altındaki ileri yörüngelerin uzun vadeli davranışlarını belirler ve periyodik noktaları çekici, itici, süper-çekici veya nötr rejimler olarak sınıflandırır.
Fatou ve Julia Kümelerini Karakterize Etme: İkinci dereceden polinomlar için Fatou ve Julia kümelerini rigöröz (kesin) bir şekilde tanımlar; bu kümelerin temel topolojik ve geometrik özelliklerini (değişmezlik, sınırlar, itici noktaların yoğunluğu vb.) açıklar.
Mandelbrot Kümesini Haritalandırma: Parametre uzayındaki Mandelbrot kümesini tanımlayıp kurgular; ana kardiyoid, hiperbolik bileşenler ve periyodik ampuller (bulbs) gibi temel yapısal özellikleri ayırt eder.
2. İleri Düzey Matematiksel Sentez
Karmaşık Analiz Araçlarını Uygulama: Holomorfik iterasyon problemlerini çözmek için Montel Teoremi ve normal aileler teorisi gibi karmaşık analizin ileri düzey teoremlerini kullanır.
Topolojik Bağlantılılığı Değerlendirme: Kritik noktanın yörüngesine dayanarak, bir Julia kümesinin bağlantılı mı yoksa bir Cantor kümesi mi olduğunu belirlemek için Kvadratik Dinamiğin Temel Teoremini formüle eder ve uygular.
Parametre ve Dinamik Uzayları İlişkilendirme: Mandelbrot kümesinin yerel davranışı ile ilgili parametredeki Julia kümeleri arasındaki derin geometrik ve yapısal ilişkiyi (örneğin Tan Lei Teoremi) açıklar.
3. Kaos, Fraktallar ve Bilgisayarlı Hesaplama
Kaotik Sistemleri Anlamlandırma: Deterministik (belirli) ve düşük boyutlu doğrusal olmayan denklemlerin nasıl kaotik davranışlar, yapısal kararsızlıklar ve dönem katlanması çatallanmaları ürettiğini açıklar.
Fraktal Boyutları Değerlendirme: Bu kümelerin fraktal doğasını kavrar ve bunların karmaşıklığını Hausdorff boyutu ve kendine benzerlik (self-similarity) kavramlarını kullanarak tartışır.
Hesaplamalı Algoritmaları Uygulama: Julia ve Mandelbrot yapılarını görselleştirmek ve keşfetmek amacıyla kaçış süresi (escape-time) algoritmalarını kullanan bilgisayar programları (örneğin Python veya MATLAB ile) tasarlar ve çalıştırır. |
Birinci Öğretim
Komplek analiz-topoloji
[Yok]
Mandelbrot ve Julia Kümeleri dersinin haftalık müfredatı (içeriği), genellikle temel karmaşık analiz kavramlarının hatırlatılmasıyla başlar, ardından dinamik uzay (Julia) ve parametre uzayı (Mandelbrot) analizleriyle derinleşir.Akademik bir dönem (14 hafta) için örnek bir ders içeriği şu şekildedir:1. Bölüm: Temeller ve Yerel Dinamikler (Hafta 1-4)Hafta 1: Karmaşık Düzlem ve Riemann Küresi: Karmaşık sayıların geometrisi, Riemann küresi ($\hat{\mathbb{C}}$) ve küresel metrik, stereografik izdüşüm.Hafta 2: İterasyon Kavramı ve Yörüngeler: Holomorfik fonksiyonların iterasyonu, ileri yörüngeler (forward orbits), kararlı (stable) ve kaotik (chaotic) davranışların sezgisel tanımı.Hafta 3: Sabit ve Periyodik Noktalar: Çarpan (multiplier) hesabı. Çekici (attracting), itici (repelling) ve süper-çekici (superattracting) sabit noktalar. Yerel konform eşleniklik (Koenigs ve Böttcher teoremleri).Hafta 4: Parabolik ve Nötr Dinamikler: Katlı kökler ve kayıtsız (indifferent) sabit noktalar. İrrasyonel dönmeler, Siegel diskleri ve Herman halkalarına giriş.2. Bölüm: Dinamik Uzay ve Julia Kümeleri (Hafta 5-8)Hafta 5: Normal Aileler ve Montel Teoremi: Eş-kesiflilik (equicontinuity), normal aile kavramı ve karmaşık dinamikteki merkezi rolü (Montel Teoremi).Hafta 6: Fatou ve Julia Kümelerinin Tanımı: Fatou kümesi (kararlı rejim) ve Julia kümesinin (kaotik rejim) rigöröz tanımları. Julia kümelerinin temel özellikleri (kapalılık, tamamen değişmezlik, boş olmama durumu).Hafta 7: Julia Kümelerinin Topolojisi: İtici periyodik noktaların Julia kümesinde yoğun olması. Julia kümesinin bağlantılılık (connectedness) özellikleri ve Cantor kümesi yapısı (büyüme eğilimleri).Hafta 8: Kritik Noktalar ve Fatou Bileşenleri: Riemann-Hurwitz formülü, kritik noktaların yörüngelerinin önemi. Fatou bileşenlerinin sınıflandırılmasına giriş.3. Bölüm: Parametre Uzayı ve Mandelbrot Kümesi (Hafta 9-11)Hafta 9: Kvadratik Aile ($z^2 + c$) ve Kritik Yörünge: Neden $z^2+c$? Kritik noktanın ($z_0=0$) Julia kümesinin topolojisini tek başına nasıl belirlediği (Bağlantılılık Teoremi).Hafta 10: Mandelbrot Kümesinin Tanımı ve Geometrisi: Mandelbrot kümesinin ($M$) parametre uzayındaki tanımı. $M$'nin kompaktlığı, sınır yapısı, ana kardiyoid ve periyodik ampuller (bulbs).Hafta 11: Mandelbrot ve Julia İlişkisi (Sanal Mikroskop): Mandelbrot kümesinin yerel yapısının, ilgili parametredeki Julia kümesinin yapısıyla olan geometrik benzerliği (Tan Lei Teoremi).4. Bölüm: İleri Konular ve Kaos (Hafta 12-14)Hafta 12: Çatallanma (Bifurcation) ve Kaos: Parametre değiştikçe yörüngelerin kararlılığını kaybetmesi, dönem katlanması (period-doubling) çatallanmaları ve Feigenbaum sabiti.Hafta 13: Fraktal Boyut ve Ölçü Teorisi: Julia ve Mandelbrot kümelerinin Hausdorff boyutu. Bilgisayarlı grafik üreteçleri ve kaçış süresi (escape-time) algoritmaları.Hafta 14: Polinom Benzeri Dönüşümler ve Açık Problemler: Douady-Hubbard polynomial-like mappings teorisi (Mandelbrot kümesinin kendi içindeki küçük kopyalarının açıklaması) ve MLC (Mandelbrot kümesi yerel bağlantılı mıdır?) konjektürü gibi açık problemler.
| [Hafta] |
[Teorik] |
[Uygulama] |
[Laboratuvar] |
| 1 |
Mandelbrot ve Julia Kümeleri dersi için önerilen haftalık ders içeriğinin Türkçe detayı şu şekildedir:1. Bölüm: Temeller ve Yerel Dinamikler (Hafta 1-4)Hafta 1: Karmaşık Düzlem ve Riemann Küresi: Karmaşık sayıların geometrisi, Riemann küresi ($\hat{\mathbb{C}}$), küresel metrik ve stereografik izdüşüm.Hafta 2: İterasyon Kavramı ve Yörüngeler: Holomorfik fonksiyonların iterasyonu, ileri yörüngeler, kararlı ve kaotik davranışlara sezgisel giriş.Hafta 3: Sabit ve Periyodik Noktalar: Çarpan (multiplier) hesabı. Çekici, itici ve süper-çekici sabit noktaların sınıflandırılması. Yerel konform eşleniklik (Koenigs ve Böttcher teoremleri).Hafta 4: Parabolik ve Nötr Dinamikler: Katlı kökler ve kayıtsız (nötr) sabit noktalar. İrrasyonel dönmeler, Siegel diskleri ve Herman halkalarına giriş.2. Bölüm: Dinamik Uzay ve Julia Kümeleri (Hafta 5-8)Hafta 5: Normal Aileler ve Montel Teoremi: Eş-kesiflilik (equicontinuity) kavramı, normal aile tanımı ve karmaşık dinamikteki merkezi rolü (Montel Teoremi).Hafta 6: Fatou ve Julia Kümelerinin Tanımı: Fatou kümesi (kararlı rejim) ve Julia kümesinin (kaotik rejim) rigöröz tanımları. Julia kümelerinin temel özellikleri (kapalılık, tamamen değişmezlik, boş olmama durumu).Hafta 7: Julia Kümelerinin Topolojisi: İtici periyodik noktaların Julia kümesindeki yoğunluğu. Julia kümelerinin bağlantılılık (connectedness) özellikleri ve Cantor kümesi yapıları (shift map).Hafta 8: Kritik Noktalar ve Fatou Bileşenleri: Riemann-Hurwitz formülü ve kritik yörüngelerin kritik rolü. Fatou bileşenlerinin sınıflandırılmasına giriş.3. Bölüm: Parametre Uzayı ve Mandelbrot Kümesi (Hafta 9-11)Hafta 9: Kvadratik Aile ($z^2 + c$) ve Kritik Yörünge: Neden $z^2+c$ ailesi? Tek bir kritik noktanın ($z_0=0$) yörüngesinin Julia kümesinin topolojisini nasıl belirlediği (Kvadratik Dinamiğin Temel Teoremi).Hafta 10: Mandelbrot Kümesinin Tanımı ve Geometrisi: Parametre uzayında Mandelbrot kümesinin ($M$) tanımı. $M$'nin kompaktlığı, sınır yapısı, ana kardiyoid ve periyodik ampuller (bulbs).Hafta 11: Mandelbrot-Julia İlişkisi (Sanal Mikroskop): Mandelbrot kümesinin yerel yapısı ile verilen bir parametredeki ilgili Julia kümesi arasındaki derin geometrik ve yapısal benzerlik (Tan Lei Teoremi).4. Bölüm: İleri Konular ve Kaos (Hafta 12-14)Hafta 12: Çatallanma Teorisi ve Kaos: Parametreler değiştikçe yörüngelerin kararlılık kaybı, dönem katlanması (period-doubling) çatallanmaları ve Feigenbaum sabiti.Hafta 13: Fraktal Boyut ve Bilgisayarlı Dinamikler: Julia ve Mandelbrot kümelerinin Hausdorff boyutu. Bilgisayarlı grafik üreteçleri ve kaçış süresi (escape-time) algoritmaları.Hafta 14: Polinom Benzeri Dönüşümler ve Açık Problemler: Douady-Hubbard polinom benzeri dönüşümler (polynomial-like mappings) teorisi (Mandelbrot kümesinin içindeki "bebek Mandelbrot" yapıları) ve MLC (Mandelbrot kümesi yerel bağlantılı mıdır?) gibi büyük açık konjektürler. |
|
|
A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment : Devaney, Robert L
| Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri |
[Adet] |
[Deger] |
| Ara Sınav |
1 |
100 |
|
[Toplam]
|
100
|
| Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri |
[Adet] |
[Deger] |
| Final Sınavı |
1 |
100 |
|
[Toplam]
|
100
|
| Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri |
40
|
| Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri |
60
|
| [Etkinlikler] |
[Sayisi] |
[Suresi] |
[ToplamIsYuku] |
| Quiz |
40 |
1 |
40 |
| Seminer |
60 |
1 |
60 |
| Sözlü Sınav |
40 |
1 |
40 |
| Ev Ödevi |
40 |
1 |
40 |
|
[ToplamIsYuku]
|
180
|
|
[PC] 1 |
[PC] 2 |
[PC] 3 |
[PC] 4 |
[PC] 5 |
[PC] 6 |
| [OC] 1 |
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
[PCOCAciklama]
