[GeriDon]

[DersOgretimPlani]

[DersinKodu] [DersinAdi] [DersinTuru] [Yil] [YariYil] [Ects]
MAT-24-103 RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ-I Seçmeli Ders Grubu 1 1 6,00

[DersinSeviyesi]

[YuksekLisans]

[DersDili]

[DersinAmaci]

RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ -I dersinde temel kavramları (Fatou ve Julia kümelerinin inşası, temel periyodik nokta sınıflandırmaları vb.) verilen dersin doğrudan devamı ve uzmanlaşma aşamasıdır. Lisansüstü düzeydeki bu ileri seviye dersin temel amacı, öğrencileri teorik altyapıdan koparıp doğrudan modern araştırma konularına, global parametre uzaylarının derin topolojisine ve açık matematiksel problemlere hazırlamaktır. İleri Topolojik ve Ölçüsel Analiz: İlksel derste tanımlanan Fatou ve Julia kümelerinin derin topolojik yapılarını (lokal bağlantılılık, erişilebilirlik vb.) ve ölçü teorisi altındaki (Hausdorff boyutu, Lebesgue ölçüsü) davranışlarını incelemek.Global Parametre Uzayı Uzmanlığı: Tek bir rasyonel fonksiyonun dinamiğinden ziyade, çok boyutlu parametre uzaylarının (bifurcation/çatallanma lokusları, hiperbolik bileşenler) yapısını çözmek. Cezbedici/Sınırda Dinamiklerin Sınıflandırılması: Sullivan'ın Gezici Olmayan Bölgeler Teoremi'nin derinlemesine incelenmesi ve karmaşık sınırlara sahip (Siegel Diskleri, Herman Halkaları gibi) Fatou bileşenlerinin analitik yapısının çözülmesi. Tez ve Makale Aşamasındaki Araştırmacıları Desteklemek: Kompleks dinamik alanında güncel literatürde yer alan (özellikle rasyonel dönüşümler, Newton iterasyon fonksiyonları ve aşkın haritalara geçiş köprüleri gibi) makaleleri analiz edebilecek uzmanlık seviyesine ulaşmak

[DersiVerenGorevli]

Prof.Dr. Figen ÇİLİNGİR

[OgrenmeCiktilari]

1 İleri Topolojik Özellikleri Analiz Etme: Giriş dersinde öğrenilen Fatou ve Julia kümelerinin lokal bağlantılılık (local connectedness) ve erişilebilirlik (accessibility) gibi derin topolojik yapılarını matematiksel olarak analiz eder. Ölçü Teorisi Yaklaşımlarını Uygulama: Dinamik kümelerin Hausdorff boyutlarını ve Lebesgue ölçülerini hesaplama/yorumlama yöntemlerini kavrayarak, fraktal yapıların ölçüsel davranışlarını değerlendirir. Global Parametre Uzaylarını Çözümleme: Tek bir fonksiyonun dinamiğinin ötesine geçerek, çok boyutlu parametre uzaylarının yapısını, bifurkasyon (çatallanma) lokuslarını ve hiperbolik bileşenlerini ayırt eder ve haritalandırır. Özel Fatou Bileşenlerini Sınıflandırma: Sullivan'ın Gezici Olmayan Bölgeler Teoremi'ni (No Wandering Domains Theorem) kullanarak dinamik sistemleri analiz eder; Siegel Diskleri ve Herman Halkaları gibi karmaşık sınırlara sahip Fatou bileşenlerinin analitik yapılarını çözer. Modern Literatürü ve Makaleleri Analiz Etme: Kompleks dinamik alanındaki güncel akademik yayınları; özellikle rasyonel dönüşümler, Newton iterasyon fonksiyonları ve aşkın (transcendental) haritalar üzerindeki araştırmaları bağımsız olarak inceleyebilecek ve yorumlayabilecek uzmanlık seviyesine ulaşır. Akademik Araştırma ve Tez Altyapısı Geliştirme: Alanın açık matematiksel problemlerini ve global parametre uzaylarının topolojisini kavrayarak, lisansüstü tez veya makale üretme aşamasında özgün araştırma soruları üretebilecek teorik yetkinliği kazanır.

[OgrenimTuru]

Birinci Öğretim

[DersOnKosulu]

Kompleks Analiz

[OnerilenDigerHususlar]

[Yok]

[DersinIcerigi]

İngilizce metnin akademik terminolojiye uygun ve profesyonel Türkçe çevirisi şu şekildedir: İleri Topolojik ve Ölçüsel Analiz: Giriş dersinde tanımlanan Fatou ve Julia kümelerinin derin topolojik yapılarını (lokal bağlantılılık, erişilebilirlik vb.) ve ölçü teorisi altındaki (Hausdorff boyutu, Lebesgue ölçüsü) davranışlarını incelemek. Global Parametre Uzayı Uzmanlığı: Tek bir rasyonel fonksiyonun dinamiğinden ziyade, çok boyutlu parametre uzaylarının (bifurkasyon/çatallanma lokusları, hiperbolik bileşenler) yapısını çözmek. Cezbedici/Sınırda Dinamiklerin Sınıflandırılması: Sullivan'ın Gezici Olmayan Bölgeler Teoremi'nin derinlemesine incelenmesi ve karmaşık sınırlara sahip (Siegel Diskleri, Herman Halkaları gibi) Fatou bileşenlerinin analitik yapısının çözülmesi. Tez ve Makale Aşamasındaki Araştırmacıları Desteklemek: Kompleks dinamik alanında güncel literatürde yer alan (özellikle rasyonel dönüşümler, Newton iterasyon fonksiyonları ve aşkın haritalara geçiş köprüleri gibi) makaleleri analiz edebilecek uzmanlık seviyesine ulaşmak.

[HaftalikDersIcerigi]

[Hafta] [Teorik] [Uygulama] [Laboratuvar]
1 İleri Kararlılık Teorisi: J-kararlılık (J-stability) ve parametre uzayındaki çatallanma (bifurcation) kümeleri. Sullivan’ın Gezici Olmayan Bölgeler (No Wandering Domains) Teoremi'nin ayrıntılı ispat stratejisi ve yarı-konform eşbölümlülük (quasiconformal conjugacy) araçları. Parabolik Dinamikler ve Leau-Fatou Çiçekleri: Parabolik sabit noktaların civarındaki lokal koordinat dönüşümleri ve Fatou koordinatları. Siegel Diskleri ve Herman Halkaları: Küçük paydalar (small divisors) problemi, Diophantine koşulları, Siegel ve Yoccoz teoremleri yardımıyla doğrusallaştırılabilme (linearization) analizi. Geometrik Fonksiyonlar Teorisi Yarı-Konform Dönüşümler (Quasiconformal Mappings): Beltrami denklemi ve Ölçülebilir Riemann Dönüşüm Teoremi.Douady-Hubbard Polinom benzeri haritalar (polynomial-like mappings) vasıtasıyla rasyonel fonksiyonların dinamik uzaylarının hibrit eşbölümlülük ile birbirine dönüştürülmesi.Kritik Noktaların Global Rolü: Genişleyen (expanding) ve hiperbolik rasyonel fonksiyonlar, hiperbolisite konjektürü. Ölçü Teorisi ve Ergodik Dinamikler. Julia Kümelerinin Ergodik Teorisi: Değişmez ölçüler, maksimal entropi ölçüsü (Buescu-Misiurewicz veya Lyubich ölçüsü). Ergodiklik ve Korunumlu Davranışlar: Julia kümesi üzerindeki Lebesgue ölçüsünün sıfır veya tam olması durumları (Fatou konjektürü). Hausdorff Boyutu ve Fraktal Ölçüler: Rasyonel fonksiyonların Julia kümelerinin Hausdorff boyutunun c-parametresine göre analitik sürekliliği (Ruelle Operatörleri ve Termodinamik Formalizm). Newton İterasyon Fonksiyonlarının Global Dinamiği: Polinomların ve tam fonksiyonların kök bulma dinamiklerinde ortaya çıkan rasyonel haritaların global havza sınırları, sonsuz alanlı çeken havzalar (endless area in attracting basins) ve kaotik tıkanmalar. Post-Kritik Olarak Sınırlı (Post-critically Finite) Rasyonel Fonksiyonlar: Thurston Teoremi ve rasyonel haritaların topolojik karakterizasyonu. Rasyonel Dinamikten Aşkın (Transandant) Dinamiğe Geçiş: Sonsuz dereceli meromorf veya tam fonksiyonların (örneğin üstel veya trigonometrik ailelerin) iterasyonlarındaki benzerlikler, farklılıklar ve açık problemler.

[DersKitabi]

A first Course of Rational Iteration, Alan Beardon

[PlanlananYontemler]

[Degerlendirme]

Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Ara Sınav 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Final Sınavı 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri 40
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri 60

[StajDurumu]

[IsYukuHesaplamasi]

[Etkinlikler] [Sayisi] [Suresi] [ToplamIsYuku]
Quiz 60 1 60
Seminer 50 1 50
Makale Kritik Etme 40 1 40
Ev Ödevi 30 1 30
[ToplamIsYuku] 180

[PCOCIliskisi]

[PC] 1 [PC] 2 [PC] 3 [PC] 4 [PC] 5 [PC] 6
[OC] 1 5 5 5 5 5 5
[PCOCAciklama]