[GeriDon]

[DersOgretimPlani]

[DersinKodu] [DersinAdi] [DersinTuru] [Yil] [YariYil] [Ects]
MAT-25-101 RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ - II Seçmeli Ders Grubu 1 1 6,00

[DersinSeviyesi]

[YuksekLisans]

[DersDili]

[DersinAmaci]

RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ -I dersinde temel kavramları (Fatou ve Julia kümelerinin inşası, temel periyodik nokta sınıflandırmaları vb.) verilen dersin doğrudan devamı ve uzmanlaşma aşamasıdır. Lisansüstü düzeydeki bu ileri seviye dersin temel amacı, öğrencileri teorik altyapıdan koparıp doğrudan modern araştırma konularına, global parametre uzaylarının derin topolojisine ve açık matematiksel problemlere hazırlamaktır. İleri Topolojik ve Ölçüsel Analiz: İlksel derste tanımlanan Fatou ve Julia kümelerinin derin topolojik yapılarını (lokal bağlantılılık, erişilebilirlik vb.) ve ölçü teorisi altındaki (Hausdorff boyutu, Lebesgue ölçüsü) davranışlarını incelemek.Global Parametre Uzayı Uzmanlığı: Tek bir rasyonel fonksiyonun dinamiğinden ziyade, çok boyutlu parametre uzaylarının (bifurcation/çatallanma lokusları, hiperbolik bileşenler) yapısını çözmek. Cezbedici/Sınırda Dinamiklerin Sınıflandırılması: Sullivan'ın Gezici Olmayan Bölgeler Teoremi'nin derinlemesine incelenmesi ve karmaşık sınırlara sahip (Siegel Diskleri, Herman Halkaları gibi) Fatou bileşenlerinin analitik yapısının çözülmesi. Tez ve Makale Aşamasındaki Araştırmacıları Desteklemek: Kompleks dinamik alanında güncel literatürde yer alan (özellikle rasyonel dönüşümler, Newton iterasyon fonksiyonları ve aşkın haritalara geçiş köprüleri gibi) makaleleri analiz edebilecek uzmanlık seviyesine ulaşmak

[DersiVerenGorevli]

Prof. Dr. Figen ÇİLİNGİR

[OgrenmeCiktilari]

1 Lisansüstü veya ileri düzey lisans seviyesinde okutulan Rasyonel Fonksiyonların Dinamiği (Dynamics of Rational Maps) dersi, karmaşık analiz, topoloji ve geometriyi bir araya getiren derin bir içeriğe sahiptir.Bu dersi başarıyla tamamlayan bir öğrencinin kazanması hedeflenen öğrenme çıktıları (learning outcomes) genel olarak şu şekilde sıralanabilir:1. Teorik ve Kavramsal YetkinliklerFatou ve Julia Kümelerinin Analizi: Riemann küresi $\hat{\mathbb{C}}$ üzerinde tanımlı rasyonel fonksiyonların dinamik davranışlarını ayırt edebilir; normal aile (normal family) kavramını kullanarak Fatou ve Julia kümelerini rigöröz bir şekilde tanımlar ve bu kümelerin temel topolojik özelliklerini (yoğunluk, değişmezlik, bağlantılılık vb.) analiz eder.Periyodik Noktaların Sınıflandırılması: Sabit ve periyodik noktaların çarpanlarını (multiplier) hesaplayarak bunları çekici (attracting), itici (repelling), parabolik veya kayıtsız (indifferent/neutral) olarak sınıflandırır; bu noktaların yerel dinamiklerini (Local Conjugacy) açıklar.Kritik Noktaların Rolünü Kavrama: Rasyonel fonksiyonların küresel geometrisini anlamada kritik noktaların ve bunların yörüngelerinin (post-critical set) oynadığı merkezi rolü açıklar; kritik yörüngelerin Fatou bileşenlerinin dinamiklerini nasıl dikte ettiğini gösterir.2. İleri Düzey Teoremleri Uygulama BecerisiSullivan’ın Gezen Bileşenlerin Yokluğu Teoremi: Fatou bileşenlerinin periyodik veya pre-periyodik olması gerektiğini (no wandering domains) kavrar ve rasyonel fonksiyonların dinamik sınıflandırmasındaki yerini açıklar.Fatou Bileşenlerinin Sınıflandırılması: Çekici havzalar (attracting basins), parabolik havzalar, Siegel diskleri ve Herman halkaları (Herman rings) gibi kararlı rejim bileşenlerini ayırt eder ve bu bileşenlerin varlık koşullarını analiz eder.3. Geometrik ve Topolojik YaklaşımlarRiemann Yüzeyleri ve Konform Eşleniklik: Küresel metriği kullanarak dinamik sistemleri Riemann küresi üzerinde geometrik olarak yorumlar; iki rasyonel fonksiyonun holomorfik veya yarı-konform (quasiconformal) eşlenikliğini test eder.Dallanma ve Örtme Dönüşümleri: Rasyonel eşlemelerin holomorfik örtme dönüşümleri (holomorphic coverings) olarak geometrik ve topolojik özelliklerini inceler.4. Parametre Uzayı ve Uygulamalı YetkinliklerParametre Uzayının Yapısı: Dinamik uzay (dynamic space) ile parametre uzayı (parameter space) arasındaki farkı açıklar; rasyonel fonksiyon ailelerinde (örneğin derecesi 2 olan rasyonel eşlemeler veya rasyonel fonksiyonların özel tekil bozulmaları) çatallanma (bifurcation) teorisini ve yapısal kararlılığı değerlendirir.Fraktal Geometri ile İlişki: Julia kümelerinin Hausdorff boyutunu ve fraktal yapısını analiz ederek, karmaşık dinamik sistemlerin ürettiği geometrik yapıları yorumlar.

[OgrenimTuru]

Birinci Öğretim

[DersOnKosulu]

Kompleks analiz

[OnerilenDigerHususlar]

[Yok]

[DersinIcerigi]

İleri Kararlılık Teorisi: J-kararlılık (J-stability) ve parametre uzayındaki çatallanma (bifurcation) kümeleri. Sullivan’ın Gezici Olmayan Bölgeler (No Wandering Domains) Teoremi'nin ayrıntılı ispat stratejisi ve yarı-konform eşbölümlülük (quasiconformal conjugacy) araçları. Parabolik Dinamikler ve Leau-Fatou Çiçekleri: Parabolik sabit noktaların civarındaki lokal koordinat dönüşümleri ve Fatou koordinatları. Siegel Diskleri ve Herman Halkaları: Küçük paydalar (small divisors) problemi, Diophantine koşulları, Siegel ve Yoccoz teoremleri yardımıyla doğrusallaştırılabilme (linearization) analizi. Geometrik Fonksiyonlar Teorisi Yarı-Konform Dönüşümler (Quasiconformal Mappings): Beltrami denklemi ve Ölçülebilir Riemann Dönüşüm Teoremi.Douady-Hubbard Polinom benzeri haritalar (polynomial-like mappings) vasıtasıyla rasyonel fonksiyonların dinamik uzaylarının hibrit eşbölümlülük ile birbirine dönüştürülmesi.Kritik Noktaların Global Rolü: Genişleyen (expanding) ve hiperbolik rasyonel fonksiyonlar, hiperbolisite konjektürü. Ölçü Teorisi ve Ergodik Dinamikler. Julia Kümelerinin Ergodik Teorisi: Değişmez ölçüler, maksimal entropi ölçüsü (Buescu-Misiurewicz veya Lyubich ölçüsü). Ergodiklik ve Korunumlu Davranışlar: Julia kümesi üzerindeki Lebesgue ölçüsünün sıfır veya tam olması durumları (Fatou konjektürü). Hausdorff Boyutu ve Fraktal Ölçüler: Rasyonel fonksiyonların Julia kümelerinin Hausdorff boyutunun c-parametresine göre analitik sürekliliği (Ruelle Operatörleri ve Termodinamik Formalizm). Newton İterasyon Fonksiyonlarının Global Dinamiği: Polinomların ve tam fonksiyonların kök bulma dinamiklerinde ortaya çıkan rasyonel haritaların global havza sınırları, sonsuz alanlı çeken havzalar (endless area in attracting basins) ve kaotik tıkanmalar. Post-Kritik Olarak Sınırlı (Post-critically Finite) Rasyonel Fonksiyonlar: Thurston Teoremi ve rasyonel haritaların topolojik karakterizasyonu. Rasyonel Dinamikten Aşkın (Transandant) Dinamiğe Geçiş: Sonsuz dereceli meromorf veya tam fonksiyonların (örneğin üstel veya trigonometrik ailelerin) iterasyonlarındaki benzerlikler, farklılıklar ve açık problemler.

[HaftalikDersIcerigi]

[Hafta] [Teorik] [Uygulama] [Laboratuvar]
1 İleri Kararlılık Teorisi: J-kararlılık (J-stability) ve parametre uzayındaki çatallanma (bifurcation) kümeleri. Sullivan’ın Gezici Olmayan Bölgeler (No Wandering Domains) Teoremi'nin ayrıntılı ispat stratejisi ve yarı-konform eşbölümlülük (quasiconformal conjugacy) araçları. Parabolik Dinamikler ve Leau-Fatou Çiçekleri: Parabolik sabit noktaların civarındaki lokal koordinat dönüşümleri ve Fatou koordinatları. Siegel Diskleri ve Herman Halkaları: Küçük paydalar (small divisors) problemi, Diophantine koşulları, Siegel ve Yoccoz teoremleri yardımıyla doğrusallaştırılabilme (linearization) analizi. Geometrik Fonksiyonlar Teorisi Yarı-Konform Dönüşümler (Quasiconformal Mappings): Beltrami denklemi ve Ölçülebilir Riemann Dönüşüm Teoremi.Douady-Hubbard Polinom benzeri haritalar (polynomial-like mappings) vasıtasıyla rasyonel fonksiyonların dinamik uzaylarının hibrit eşbölümlülük ile birbirine dönüştürülmesi.Kritik Noktaların Global Rolü: Genişleyen (expanding) ve hiperbolik rasyonel fonksiyonlar, hiperbolisite konjektürü. Ölçü Teorisi ve Ergodik Dinamikler. Julia Kümelerinin Ergodik Teorisi: Değişmez ölçüler, maksimal entropi ölçüsü (Buescu-Misiurewicz veya Lyubich ölçüsü). Ergodiklik ve Korunumlu Davranışlar: Julia kümesi üzerindeki Lebesgue ölçüsünün sıfır veya tam olması durumları (Fatou konjektürü). Hausdorff Boyutu ve Fraktal Ölçüler: Rasyonel fonksiyonların Julia kümelerinin Hausdorff boyutunun c-parametresine göre analitik sürekliliği (Ruelle Operatörleri ve Termodinamik Formalizm). Newton İterasyon Fonksiyonlarının Global Dinamiği: Polinomların ve tam fonksiyonların kök bulma dinamiklerinde ortaya çıkan rasyonel haritaların global havza sınırları, sonsuz alanlı çeken havzalar (endless area in attracting basins) ve kaotik tıkanmalar. Post-Kritik Olarak Sınırlı (Post-critically Finite) Rasyonel Fonksiyonlar: Thurston Teoremi ve rasyonel haritaların topolojik karakterizasyonu. Rasyonel Dinamikten Aşkın (Transandant) Dinamiğe Geçiş: Sonsuz dereceli meromorf veya tam fonksiyonların (örneğin üstel veya trigonometrik ailelerin) iterasyonlarındaki benzerlikler, farklılıklar ve açık problemler.

[DersKitabi]

Alan Beardon Iteration of rational maps

[PlanlananYontemler]

[Degerlendirme]

Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Ara Sınav 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri [Adet] [Deger]
Final Sınavı 1 100
[Toplam] 100
Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri 40
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri 60

[StajDurumu]

[IsYukuHesaplamasi]

[Etkinlikler] [Sayisi] [Suresi] [ToplamIsYuku]
Quiz 30 1 30
Seminer 50 1 50
Sözlü Sınav 60 1 60
Ev Ödevi 40 1 40
[ToplamIsYuku] 180

[PCOCIliskisi]

[PC] 1 [PC] 2 [PC] 3 [PC] 4 [PC] 5 [PC] 6
[OC] 1 5 5 5 5 5 5
[PCOCAciklama]